\subsection{三角形全等的判定 III}\label{subsec:czjh1-3-7}

到现在为止，我们学过三种判定三角形全等的方法，即边角边公理，角边角公理以及推论角角边。
那么，是不是在两个三角形中，有任意三组对应的边或角相等时，两个三角形就全等呢？看下面几种情况。

例如，在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABD$ 中，已知 $AB = AB$， $AC = AD$，
$\angle B = \angle B$，显然它们不全等（图 \ref{fig:czjh1-3-25}）。 这说明，
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

\begin{figure}[htbp]
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    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-25}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-25}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-26}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-26}
    \end{minipage}
\end{figure}

又如， 在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 中，如果 $DE \pingxing BC$，
那么 $\angle ADE = \angle B$， $\angle AED = \angle C$， 又 $\angle A = \angle A$，
但 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 并不全等（图 \ref{fig:czjh1-3-26}）。
这说明三个角对应相等的两个三角形也不一定全等。

但是，如果两个三角形的三条边对应相等，这两个三角形一定全等。
这个事实以后可以证明，所以有下面的定理：

\begin{dingli}[边边边定理]
    有三边对应相等的两个三角形全等
\end{dingli}（可以简写成 “\zhongdian{边边边}” 或 “$\bm{SSS}$”）。

例如，在图 \ref{fig:czjh1-3-27} 的 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，如果
$BC = B'C'$， $CA = C'A'$， $AB = A'B'$， 那么
$$ \triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C' \juhao $$

\begin{figure}[htbp]
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    \begin{minipage}[b]{9cm}
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        \input{../pic/czjh1-ch3-27}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-27}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-28}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-28}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti[0] 已知：如图 \ref{fig:czjh1-3-28}，$AB = CD$， $BC = DA$， $E$、 $F$ 是 $AC$ 上两点，且 $AE = CF$。

求证： $BF = DE$。

\zhengming 在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    AB = CD & \text{（已知），} \\
    BC = DA & \text{（已知），} \\
    CA = AC & \text{（公共边），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle CDA$ （$SSS$） 。

$\therefore$ \quad $\angle 1 = \angle 2$ （全等三角形的对应角相等）。

在 $\triangle BCF$ 和 $\triangle DAE$ 中，

\hspace{2em}$\begin{cases}
    BC = DA  & \text{（已知），} \\
    \angle 1 = \angle 2 & \text{（已证），} \\
    CF = AE & \text{（已知），} \\
\end{cases}$

$\therefore$ \quad $\triangle BCF \quandeng \triangle DAE$ （$SAS$） 。

$\therefore$ \quad $BF = DE$ （全等三角形的对应边相等）。


由边边边定理可以看出，只要三角形三边的长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定。
例如，取三根长度适当的木条，用钉子把它们钉成一个三角形框架，
所得到的框架形状和大小就固定了（ 图 \ref{fig:czjh1-3-29}）。
三角形这个性质叫做\zhongdian{三角形的稳定性}。这是三角形特有的性质。
用四根木条钉成的框架就没有这个性质，它的形状是可以改变的（图 \ref{fig:czjh1-3-30}）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5cm]{../pic/czjh1-ch3-29.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-29}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/czjh1-ch3-30.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-30}
    \end{minipage}
\end{figure}


三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的。
例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固和稳定；
在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一些三角形，就可以使栅栏门不变形。
前面提到的大桥钢梁、起重机的支架都采用三角形结构，也是这个道理。


\begin{lianxi}

\xiaoti{如图是一个平分角的仪嚣，其中 $AB = AD$， $BC = DC$。
    为了平分一个角，只要将点 $A$ 放在角的顶点， $AB$ 和 $AD$ 沿角的两边放下，
    沿 $AC$ 画一射线 $AE$， $AE$ 就是角平分线。说明它的道理。
}

\begin{figure}[htbp]
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    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \includegraphics[width=3cm]{../pic/czjh1-ch3-subsec7-lx-01.png}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec7-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec7-lx-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{已知：如图，点 $B$、$E$、$C$、$F$ 在同一直线上，$AB = DE$， $AC = DF$， $BE = CF$。 \\
    求证： $\angle A = \angle D$。
}

\xiaoti{已知：如图， $AB = DC$， $AD = BC$。 \\
    求证： $\angle A = \angle C$。
}

\xiaoti{举出一些利用三角形稳定性的实例。}

\end{lianxi}

